磨剑（9）三角形上的追逐
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问题
如下图，三个人分别站在等边三角形的三个顶点上，两两相距为L。每个人都以v的速度朝逆时针方向的另一个人靠近。请问经过多长时间后三人相遇？
分析
这道题有些年头。 那还是高二，在一本课外书上看到它。直觉的想法，找到三人的运动轨迹，求出轨迹长度。 根据对称性，三个人肯定最终相会于等边三角形的中心。这三个人的运动轨迹有以下特点：
1. 任意时刻，运动方向都朝下逆时针的下一个人（即运动轨迹的切线始终指向下一个人）。
2. 任意时刻，三个人都形成一个等边三角形。
那么，可以大概想象出，三人的运动是类似下面的一种曲线。
关键是，这是一种什么曲线呢？ 如果是圆弧，那就好办了。可是很明显，曲线的曲率越靠近中心时越大，显然不是圆弧。如果它是椭圆或者抛物线的一段，又得要动用积分手段才可以求弧长，这已经超越了高中数学的范筹。 当时就卡在这个点了，一直没有突破。
很久之后，我又在一本物理书上看到了这个题，有点纳闷，为什么是物理题？思考了一下，恍然大悟。
解答
实际上，这三个人的运动轨迹并不重要。重要的是，三个人的运动矢量与中心点的关系。 前面已经分析到了，任意时刻，三人都形成一个等边三角形，并且，三人的运动方向都在这个等边三角形的边上。 那么，根据速度分解，任意时刻，三个人朝中心的运动分量都是相等的。
也就是说，不管三个人的运动轨迹是怎么复杂，他们与中心点间的距离是以一个恒定的速度在靠近。 这就很好办了，用很简单的数学知识就可以算出答案。
要正面回答这三个人的运动曲线倒底是什么样，还真不是一件容易的事。 曲线与中心点的距离其实是匀速变化，这跟阿基米德螺线一致。阿基米德螺线的圆周运动分量是不是也符合呢？