磨剑(9)三角形上的追逐

tags: iq

问题

如下图,三个人分别站在等边三角形的三个顶点上,两两相距为L。每个人都以v的速度朝逆时针方向的另一个人靠近。请问经过多长时间后三人相遇?

Layer 1 A B C

分析

这道题有些年头。 那还是高二,在一本课外书上看到它。直觉的想法,找到三人的运动轨迹,求出轨迹长度。 根据对称性,三个人肯定最终相会于等边三角形的中心。这三个人的运动轨迹有以下特点:

1. 任意时刻,运动方向都朝下逆时针的下一个人(即运动轨迹的切线始终指向下一个人)。
2. 任意时刻,三个人都形成一个等边三角形。

那么,可以大概想象出,三人的运动是类似下面的一种曲线。

关键是,这是一种什么曲线呢? 如果是圆弧,那就好办了。可是很明显,曲线的曲率越靠近中心时越大,显然不是圆弧。如果它是椭圆或者抛物线的一段,又得要动用积分手段才可以求弧长,这已经超越了高中数学的范筹。 当时就卡在这个点了,一直没有突破。

很久之后,我又在一本物理书上看到了这个题,有点纳闷,为什么是物理题?思考了一下,恍然大悟。

解答

实际上,这三个人的运动轨迹并不重要。重要的是,三个人的运动矢量与中心点的关系。 前面已经分析到了,任意时刻,三人都形成一个等边三角形,并且,三人的运动方向都在这个等边三角形的边上。 那么,根据速度分解,任意时刻,三个人朝中心的运动分量都是相等的

也就是说,不管三个人的运动轨迹是怎么复杂,他们与中心点间的距离是以一个恒定的速度在靠近。 这就很好办了,用很简单的数学知识就可以算出答案。


要正面回答这三个人的运动曲线倒底是什么样,还真不是一件容易的事。 曲线与中心点的距离其实是匀速变化,这跟阿基米德螺线一致。阿基米德螺线的圆周运动分量是不是也符合呢?