磨剑(1)猜数字

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——————— 好几年前写的东西了,朝花夕拾。

问题

教授选出两个从2到9的数,把它们的和告诉学生甲,把它们的积告诉学生乙,让他们轮流猜这两个数。
甲说:“我猜不出”。
乙说:“我猜不出”。
甲说:“我猜到了”。
乙说:“我也猜到了”。
问这两个数是多少 。

解答

第一次,甲根据和猜不出,因为2到9这8个数的和可能性太多。比如,甲拿到8,则两数可能是(2,6),(3,5),(4,4)中的任意一种,甲无法判断。
第一次,乙根据积猜不出,说明乙拿到了一个有多种分解可能的积。若乙拿到了10,肯定一下就知道这两个数只会是2和5了,但若乙拿到了12,则两数可以是3X4,也可以是2X6,所以他没法判断。从2到9这几个数里的两两积里,让乙无法猜出的,只有以下可能:
12 = 3X4 = 2X6
16 = 2X8 = 4X4
18 = 3X6 = 2X9
24 = 3X8 = 4X6
36 = 4X9 = 6X6

所以,甲看到乙第一次猜不出,就知道乙手上的和是这5个数之一。
因为甲手上的数能拆成两个数,使其积为12,16,18,24,36之一。
那反推之,如果乙手上的数是12,则甲手上的和可能是3+4=7或者2+6=8。类推,可得甲乙两人手上的数的所有可能性:
乙 -> 甲
12 -> 7或8
16 -> 10或8
18 -> 11或9
24 -> 11或10
36 -> 12或13
这时候,甲猜出来了!这说明甲手上的数对应唯一一个乙手上的数。比如7唯一对应12,甲手上若是7,则两个数只可能是3+4,恰好它们的积为12,凭乙当时的信息,无法看出是3X4还是2X6。所以,如果甲拿到的是7,他可以断定这两个数是3和4.
而8可以对应12或者16,若甲拿的是8,则两个数可能是2+6,也可能是4+4。甲无法知道乙手上究竟是12还是16,也就没法知道这两个数是2+6还是4+4。
照这样推理,甲手上只可能是7,9,12,13。

甲说猜出来了,乙也就明白甲拿到的数是7,9,12,13之一了。
这时候乙也猜出来了!
根据上面列举的甲乙手上数值可能性,说乙手上的积一定对应唯一一个甲手上的和。
那就能排除12和13了——若乙拿到了36,甲可能是12,也可能是13,乙无法判断。
所以,乙手上的数为12对应甲手上的数为7,或者乙手上的数为18对应甲手上的数为9。
到此可知,教授给出的两个数,为3和4,或者3和6。