磨剑(10)三门问题

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问题

三门问题(Monty Hall problem)出自美国的一档电视节目。这是一个类似闯关拿大奖的游戏,有点像“幸运52”。参赛者在拿奖环节会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,另两扇门后面是一只羊。选中的汽车的门,恭喜你,车就是你的了。在选手做出选择但还没去开门的时候,节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,门后面是一只羊,然后主持人说,“给你一个机会,你要不要选另一扇门?”。 那么问题来了:换一扇门,赢汽车的概率是不是要大一些?

分析

参赛者第一次选择的时候,选中汽车的概率是1/3,这是毫无疑问的。 这个点上有一批思考者不幸掉坑里了,他们犯了一个错误,用主持人开门后的结果去反推第一次选择的概率。 要知道,参赛者选择在先,主持人开门在后,所以参赛者选择的时候,是纯粹的3选1。后面主持人的行为不会影响到参赛者初次选择的概率。(可能是不确定性原理的粉丝……)。

主持人打开了一扇背后是羊的门。情况会发生什么变化?从这里起,大家的观点分成三类:

  1. 换与不换没区别,都只有1/3的概率赢。
  2. 换与不换没区别,赢的概率为1/2。
  3. 换门,赢的概率为2/3,不换门则只有1/3的概率赢。

第一种观点的依据是:

  • 一开始,每扇门中汽车的概率都是1/3。
  • 参赛者第一次选择的成功率,不会因为主持人开门而变化。
  • 所以,既然每扇门都是1/3的概率,换与不换都一样。

这一种思路是很多人的直觉,然而它是错的……这也是为什么这个问题被热烈讨论了这么多年。 这个思路的前两句都正确,第三句有问题。 其实道理非常简单: 当主持人打开一扇有羊的门,并且再给了你一次机会,实际上汽车已经变成了二选一了。

所以有了第二种观点:主持人排除了一扇有羊的门,参赛者在剩下的两扇门中选汽车,换与不换,赢的概率都是1/2。因为主持人总会给参赛者第二次机会,所以参赛者可以达到1/2的胜率。

观点2看上去无懈可击,仔细推敲,会发现: 主持人打开一扇背后有羊的门,不仅仅是将3选1变成2选1这么简单。 主持人打开有羊的门后,这并没有改变参赛者所选门的中奖概率!但这会影响第三扇门的中奖概率!

可以这样想,参赛者第一次选择时,车就在选中的门后面的概率是1/3,车在另两扇门后面的概率是2/3。现在,主持人将另两扇门中去掉一个错误的, 中奖概率应该累加到剩下的那扇门上!剩下那扇门后面是汽车的概率为2/3。

关键是要想通,在主持人开门的时候,为什么剩下的门中奖概率增加,而参赛者已选择的门中奖概率不变?

  1. 如果已选中的门赢,说明参赛者第一次就选中了,这个概率始终等于1/3。
  2. 主持人知道哪扇门后有羊,他的选择不是随机的,这无疑会增加剩下门赢的概率。

如果我们换一种玩法:主持人也不知道哪扇门后有车,他在剩下的门中随机挑一个,发现背后是羊。然后再让参赛者来决定。这时情况就不一样了,主持人选择对的概率跟参赛者是一样的。因此参赛者面临真正的2选1,这才是第二种观点的情况。

所以,第三种观点才是正确的。其实它的一个简单推理是:

  1. 参赛者第一次就选中汽车,换门,肯定输。
  2. 参赛者第一次就选中羊,换门,肯定赢。
  3. 所以,总是换门的情况下,赢的概率等于第一次选中羊的概率!那就是2/3!

其实理解第三种答案并不难。难就难在如何找到其它答案错在哪里。


在网上翻了一些讨论帖,发现很多朋友正确的理解了第三种答案,但却找不出其它答案的漏洞。结果各执一词,辩来辩去,反被对方的分析给征服了……